تصور کنید در یک مسابقه تلویزیونی شرکت کردهاید. مجری برنامه، سه درب به شما نشان میدهد. پشت یکی از دربها یک ماشین جدید است و پشت دو درب دیگر، یک بز قرار دارد. شما یک درب را انتخاب میکنید. سپس مجری که میداند ماشین کجاست، یکی از دو درب دیگر را که پشت آن بز است باز میکند و به شما پیشنهاد میدهد: آیا میخواهید انتخاب خود را عوض کنید؟
سوال: آیا باید انتخاب خود را عوض کنید یا به همان درب اول پایبند بمانید؟
اکثر مردم میگویند: حالا دو درب باقی مانده است، پس شانس ۵۰-۵۰ است و فرقی نمیکند. اما این پاسخ کاملاً اشتباه است.
دلیل اینکه اکثر مردم به اشتباه میافتند، نادیده گرفتن یک نکته کلیدی است: مجری برنامه میداند که ماشین کجاست و انتخاب او تصادفی نیست. او همیشه یک درب با بز را باز میکند و این کار را با آگاهی کامل انجام میدهد.
در هیچ شاخه دیگری از ریاضیات، متخصصان به اندازه نظریه احتمال به راحتی اشتباه نمیکنند.
این یک سوال کاملاً احمقانه به نظر میرسد. دو درب در دسترس است. یکی را باز کنی میبری، دیگری را باز کنی میبازی — پس به نظر بدیهی میرسد که فرقی نمیکند انتخاب خود را عوض کنی یا نه، شانس برندهات ۵۰-۵۰ است. چه چیزی سادهتر از این؟
چرا شهود ما اشتباه میکند؟
بیایید با یک جدول ساده، دلیلش را ببینیم
فرض کنید شما همیشه درب شماره ۱ را انتخاب میکنید. سه حالت ممکن وجود دارد:
حالت | ماشین کجاست؟ | مجری چه دربی را باز میکند؟ | اگر تغییر ندهید | اگر تغییر دهید |
۱ | پشت درب ۱ | درب ۲ یا ۳ (هر دو بز دارند) | میبرید | میبازید |
۲ | پشت درب ۲ | مجری حتماً درب ۳ را باز میکند | میبازید | میبرید |
۳ | پشت درب ۳ | مجری حتماً درب ۲ را باز میکند | میبازید | میبرید |
همانطور که میبینید:
- اگر تغییر ندهید، فقط در ۱ حالت از ۳ حالت برنده میشوید → احتمال ۱/۳
- اگر تغییر دهید، در ۲ حالت از ۳ حالت برنده میشوید → احتمال ۲/۳
نکته کلیدی: در دو حالت از سه حالت، شما در ابتدا یک درب با بز انتخاب کردهاید. مجری که میداند ماشین کجاست، چارهای جز باز کردن تنها درب بز باقیمانده ندارد و درب دیگر، حتماً ماشین دارد. پس با تغییر، در ۲/۳ موارد برنده میشوید.
یک راه سادهتر برای فهمیدن: به جای ۳ درب، ۱۰۰ درب را تصور کنید!
اگر هنوز این موضوع برایتان باورنکردنی است، این نسخه را در نظر بگیرید:
فرض کنید به جای ۳ درب، ۱۰۰ درب وجود دارد. شما یک درب انتخاب میکنید (شانس ماشین ۱٪ است). سپس مجری که میداند ماشین کجاست، از ۹۹ درب باقیمانده، ۹۸ درب را که بز دارند باز میکند و فقط یک درب را بسته نگه میدارد. حالا به شما پیشنهاد میدهد که انتخاب خود را به آن یک درب باقیمانده تغییر دهید.
آیا باز هم فکر میکنید شانس ۵۰-۵۰ است؟ قطعاً نه! شانس ماشین پشت آن درب باقیمانده، ۹۹٪ است، چون مجری آن را به عمد و با دانستن جای ماشین برای شما نگه داشته است.
به عبارت سادهتر: در ۹۹٪ موارد، شما در ابتدا یک درب با بز انتخاب کردهاید. مجری با باز کردن ۹۸ درب، شما را به سمت درب ماشین هدایت میکند. بنابراین تغییر انتخاب، شانس شما را از ۱٪ به ۹۹٪ افزایش میدهد.
همین توضیح برای ۳ درب هم صادق است: در دو سوم موارد، شما ابتدا بز را انتخاب کردهاید و مجری شما را به سمت ماشین هدایت میکند. پس تغییر دهید.
تاریخچه معما: جنجالی که در سال ۱۹۹۰ به پا شد
این معما در سال ۱۹۹۰ توسط مریلین ووس ساوانت که در کتاب رکوردهای گینس به عنوان باهوشترین انسان جهان ثبت شده است در مجله Parade مطرح شد. پاسخ او این بود که باید انتخاب را عوض کرد.
نتیجه چه شد؟ حدود ۱۰,۰۰۰ نامه از سراسر آمریکا به مجله رسید که پاسخ او را اشتباه میدانستند. ۹۲٪ از مردم گفتند که او اشتباه کرده است!
حتی بسیاری از ریاضیدانان و استادان دانشگاه به او نامه نوشتند و او را به خاطر این پاسخ «احمقانه» سرزنش کردند. یکی از بدنامترین پاسخها از یک استاد ریاضیات بود که نوشت: شما اشتباه کردید و من از شما انتظار بیشتری داشتم.
حتی پل اردوش، یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرن بیستم، تا زمانی که یک شبیهسازی کامپیوتری را با چشمان خود ندید، این پاسخ را باور نکرد.
